LG-P5104 红包发红包 Solution

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关于本题怎么做题解区的大佬们已经讲的很清楚了，因为这是我的第一道期望题，所以这里仅对积分推导过程做一些较为详细的补充。

显然令第一个人抢到的钱数为 $x$$x$，那么 $x$$x$ 的分布函数 $f(x)$$f(x)$ 较为显然：

那么我们要求的期望也就比较显然为：

这个东西比较显然的就是用牛顿-莱布尼茨公式求解：

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$$F'(x) = f(x)$，证明略。

带到本题中也就是我们考虑令 $g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2\omega }}$$g(x) = \dfrac{x^2}{2\omega}$，那么显然 $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x}{\omega }}$$g'(x) = \dfrac{x}{\omega}$。所以有：

或者也可以考虑从定义出发，显然有如下公式：

这个东西本质上就是把曲边梯形分成 $n$$n$ 份，然后分别当成矩形求解加和，也就是定积分的本质，如果还是不理解可以看一下这个图（预高一的时候老师讲的）。

带入到这题里面，显然 $x_i=i{\displaystyle \frac{\omega -0}{n}}+0={\displaystyle \frac{i\omega }{n}}$$x_i = i\dfrac{\omega - 0}{n} + 0 = \dfrac{i \omega}{n}$，于是便有：

而对于后面的第 $k$$k$ 个人，我们进行如下考虑，第一个人期望取走 ${\displaystyle \frac{\omega }{2}}$$\dfrac{\omega}{2}$，那么他也期望剩下 ${\displaystyle \frac{\omega }{2}}$$\dfrac{\omega}{2}$，所以第二个人等于是在 ${\displaystyle \frac{\omega }{2}}$$\dfrac{\omega}{2}$ 的基础上再取，推一下显然就是 ${\displaystyle \frac{\omega }{4}}$$\dfrac{\omega}{4}$，于是很显然，这样推下去，一定有第 $k$$k$ 个人的期望为 ${\displaystyle \frac{\omega }{2^k}}$$\dfrac{\omega}{2^{k}}$，于是写个快速幂求个逆元取个模就 Accept 了。

UPD

update-2022_10_18 初稿