浅析极限、导数、三次函数、积分、牛顿迭代、麦克劳林展开、泰勒展开

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写在前面

虽然这是一篇 OI 向的 Blog，但是这一部分的很多内容可能更多偏向于数学，不过毕竟信息与计算科学（或者说计算数学）本身就是基于数学的，所以也无可厚非。（甚至这篇 Blog 的很多东西都整理自学而思预高一时候讲的极限导数与积分等

极限

Tips：极限应为常数。

数列极限

定义

1. 直观定义：当 $n\to +\mathrm{\infty }$$n \to +\infty$，若 $a_n\to A$$a_n \to A$（$A$$A$ 为常数，后文同此），则称 $A$$A$ 是数列 $a_n$$a_n$ 的极限（或称 $a_n$$a_n$ 收敛于 $A$$A$），记作 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A$。
2. 客观定义：对于 $\mathrm{\forall }ϵ>0$$\forall \epsilon \gt 0$，若存在 $N_0\in N^{\ast }$$N_0 \in N^\ast$ 和常数 $A$$A$，使得当 $n\ge N_0$$n \ge N_0$ 时，$|a_n-A|<ϵ$$\lvert a_n - A \rvert \lt \epsilon$，则称 $A$$A$ 是数列 $a_n$$a_n$ 的极限。

Tips：对于其客观定义，我们可以感性理解一下，$N_0$$N_0$ 即代表一个位置，$n\ge N_0$$n \ge N_0$ 即代表从该项开始，如此其定义便很好理解了。特别地，对于这种定义，我们称其为 $ϵ-N$$\epsilon - N$ 语言。

例子

1. 对于数列 $1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{8}},\cdots$$1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \cdots$，显然 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0$。

2. 对于数列 $6,6,6,\cdots$$6, 6, 6, \cdots$，显然 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=6$$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 6$。

3. 对于数列 $1,2,4,8,\cdots$$1, 2, 4, 8, \cdots$，显然其无极限，或者说其不收敛。

性质

1. 若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A$，且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=B$$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = B$，则 $A=B$$A = B$。（唯一性）
2. 若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A$，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=B$$\lim\limits_{n \to +\infty} b_n = B$，则有：

3. 若 $a_n\le c_n\le b_n$$a_n \le c_n \le b_n$，且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=A$$\lim\limits_{n \to +\infty}a_n = \lim\limits_{n \to +\infty}b_n = A$，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=A$$\lim\limits_{n \to +\infty}c_n = A$。

常见数列极限

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}C=C$$\lim\limits_{n \to +\infty}C = C$。
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=0(|q|<1)$$\lim\limits_{n \to +\infty}q^n = 0 (\lvert q \rvert \lt 1)$。
3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$。
4. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^n=e$$\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + \dfrac{1}{n})^n = e$。

函数极限

无穷大

1. $ +\infty $：

直观定义：当 $ x \to +\infty $ 时，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{n \to +\infty}f(x) = A $。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0,A$$\forall \epsilon \gt 0, \exists N_0, A$，使得 $ x \ge N_0 $ 时，$|f(x)-A|<ϵ$$\lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon$。

2. $-\mathrm{\infty }$$-\infty$：

直观定义：当 $x\to -\mathrm{\infty }$$x \to -\infty$ 时，若 $ f(x) \to A $，则 $\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{n \to -\infty}f(x) = A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0,A$$\forall \epsilon \gt 0, \exists N_0, A$，使得 $ x \le N_0 $ 时，$|f(x)-A|<ϵ$$\lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon$。

3. $\mathrm{\infty }$$\infty$：

直观定义：若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{n \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{n \to -\infty}f(x) = A$，则 $ \lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A $。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0,A$$\forall \epsilon \gt 0, \exists N_0, A$，使得 $|x|\ge N_0$$\lvert x \rvert \ge N_0$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$$\lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon$。

具体点

Tips：几个记号：$x\to x^{-}$$x \to x^-$ 表示从左侧趋近，$x\to x^{+}$$x \to x^+$ 表示从右侧趋近，$\bigcup (x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$$\bigcup(x_0, \delta) = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 表示邻域，$\bigcup ^0(x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$$\bigcup^0(x_0, \delta) = (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)$ 表示去心邻域。

1. $x_0$$x_0$ 左极限：

直观定义：当 $ x \to x_0^- $，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = A $。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,A$$\forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt0, A$，使得当 $ x \in (x_0 - \delta, x_0) $ 时，$|f(x)-A|<ϵ$$\lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon$。

2. $x_0$$x_0$ 右极限：

直观定义：当 $x\to x_0^{+}$$x \to x_0^+$，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = A $。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,A$$\forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt0, A$，使得当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$$x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$$\lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon$。

3. $x_0$$x_0$ 极限：

直观定义：若 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = A$，则 $ \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A $。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,A$$\forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt0, A$，使得当 $x\in \bigcup ^0(x_0,\delta )$$x \in \bigcup^0(x_0, \delta)$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$$\lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon$。

Tips：若函数 $f(x)$$f(x)$ 连续，有 $f(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$f(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)$。

性质

同数列极限。

常见函数极限

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x=e$$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^x = e$。
2. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$。（即考虑若 $x\to 0$$x \to 0$，那么 $\sin x\approx x\approx \tan x$$\sin x \approx x \approx \tan x$）

具体习题

这里虽然有这大量的习题与计算极限的方法，但是显然这与 OI 主流知识点相距较远，故暂时鸽掉，有机会会回来补的。

导数

引入

谈及导数之前，我们先引入一些概念以更好地理解导数。

平均变化率（割线斜率）

我们可以用 $[x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]$$[x_0, x_0 + \Delta x]$ 或 $[x_1,x_2]$$[x_1, x_2]$ 表示一段区间的 $ x $ 变化，那么平均变化率即为：

瞬时变化率（$x_0$$x_0$处切线斜率）

不难想到，当 $\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$ 足够小的时候，从实际意义上可以认为在无限小的一段 “时间” 内，也就是一瞬间，那么就是瞬间变化率了。

例子

如 $f(x)=x^2$$f(x) = x^2$ 在 $x=1$$x = 1$ 处的瞬时变化率，有：

如 $g(x)=\sin x$$g(x) = \sin x$ 在 $x=0$$x = 0$ 处的瞬时变化率，有：

定义

函数在一个点处的导数，代数意义上就是该点处的瞬时变化率，几何意义上就是该点处的切线斜率。

不难想到有：

对于导数的存在性问题，显然可以通过定义转换为极限的存在性问题，显然需要满足两个条件：

1. $x_0$$x_0$ 附近有定义且连续。
2. $x_0$$x_0$ 附近平滑。

简而言之就是连续且平滑。

关于连续但不平滑的反例，可以参考 「魏尔斯特拉斯函数」是一个怎样的函数，其有哪些性质，它是如何被构造出来的？，即魏尔斯特拉斯函数，该函数处处连续却处处不可导。值得一提的是上文提到的极限的客观定义似乎也是他提出来的。

导函数

若 $f(x)$$f(x)$ 在区间 $I$$I$ 上可导，则 $f(x)$$f(x)$ 的自变量与 $f(x)$$f(x)$ 每个点的导数构成映射关系（函数关系），则称该函数为 $f(x)$$f(x)$ 的导函数（亦简称导数），记作 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$ 或 $y^{\prime }$$y'$。

故不难理解：

$f^{\prime }(x)$$f'(x)$ 为函数，对应着 $f^{\prime }(x){\mid }_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)$$f'(x) \mid_{x = x_0} = f'(x_0)$。

$f^{\prime }(x_0)$$f'(x_0)$ 为对应的数值。

常见导函数

1. $ f(x) = C, f'(x) = 0 $。
2. $f(x)=x^{\alpha },f^{\prime }(x)=\alpha x^{\alpha -1}$$f(x) = x^\alpha, f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$。
3. $f(x)=a^x,f^{\prime }(x)=a^x\ln a$$f(x) = a^x, f'(x) = a^x \ln a$。
4. $f(x)={\log }_a^x,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}$$f(x) = \log_a^x, f'(x) = \dfrac{1}{x\ln a}$。
5. $f(x)=\sin x,f^{\prime }(x)=\cos x$$f(x) = \sin x, f'(x) = \cos x$。
6. $f(x)=\cos x,f^{\prime }(x)=-\sin x$$f(x) = \cos x, f'(x) = -\sin x$。
7. $f(x)=\arcsin x,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$f(x) = \arcsin x, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。
8. $f(x)=\arccos x,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}$$f(x) = \arccos x, f'(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$。

如：$({\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$(\dfrac{1}{x})' = -\dfrac{1}{x^2}$，$(\sqrt{x}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，$(x{)}^{\prime }=1$$(x)' = 1$，$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$(e^x)' = e^x$，$(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$。

导数运算

1. $(f\pm g{)}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }\Rightarrow (kf{)}^{\prime }=k{f}^{\prime }$$(f \pm g)' = f' \pm g' \Rightarrow (kf)' = kf'$。
2. $(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+g^{\prime }\cdot f\Rightarrow (\prod _{i=1}^n{f}_i{)}^{\prime }=\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^{i-1}{f}_j{f}_i^{\prime }\prod _{j=i+1}^n{f}_j$$(f \cdot g)' = f' \cdot g + g' \cdot f \Rightarrow (\prod_{i = 1}^n f_i)' = \sum_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^{i - 1}f_j f_i' \prod_{j = i + 1}^n f_j$。

3. $({\displaystyle \frac{f}{g}}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}}$$(\dfrac{f}{g})' = \dfrac{f'g - g'f}{g^2}$。
4. 复合函数求导：

对于 $(f(g(x)){)}^{\prime }$$(f(g(x)))'$，令 $u=g(x)$$u = g(x)$，则 $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$$(f(g(x)))' = f'(u)g'(x)$。

$\Rightarrow f_1(f_2(\cdots f_n(x)){)}^{\prime }=f_1^{\prime }\cdot f_2^{\prime }\cdots f_n^{\prime }$$\Rightarrow f_1(f_2(\cdots f_n(x)))' = f_1' \cdot f_2' \cdots f_n'$。

对于复合函数求导，举个例子：${\sin }^{\prime }(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}{)}^{\prime }\cdot {\sin }^{\prime }u=2\cos u=2\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$\sin'(2x + \dfrac{\pi}{3}) = (2x + \dfrac{\pi}{3})' \cdot \sin' u = 2\cos u = 2\cos(2x + \dfrac{\pi}{3})$。

UPD

update-2023_02_08 初稿